27李林精讲精练880题-试题（数二）【公众号：研料库，料最全】

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设$$\delta>0,f(x)$$在$$(-\delta,\delta)$$内有定义，当$$x\in(-\delta,\delta)$$时，有$$|f(x)|\leqslant x^2$$，则$$x=0$$是$$f(x)$$的（）。

设$$f(x)$$连续，且$$f'(x_0)>0$$，则存在$$\delta>0$$，使得（）。

已知$$y=x^3+ax^2+bx+c$$在$$x=-2$$处取得极值，且与直线$$y=-3x+3$$相切于点$$(1,0)$$，则（）。

下列命题正确的是（）。

设可导函数$$y=y(x)$$由$$\begin{cases}x=\arctan t,\\y=\ln(1-t^2)-\sin y\end{cases}$$确定，则（）。

曲线$$y=\frac{1}{|x|-1}+\ln(1+\mathrm{e}^{-x})$$的渐近线的条数为（）。

设$$f(x)$$为连续函数，且$$\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x[1+x+f(x)]$$存在，则曲线$$y=f(x)$$有斜渐近线（）。

曲线$$y=\sqrt{x^2-a^2}$$的渐近线的条数为（）。

设$$f(x)$$在$$x=0$$处可导，且$$f'(0)=2,f(0)=0$$，则$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(1-\cos x)}{\ln(1+x^2)}=$$______。

设$$f(x)$$连续，$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln[f(x+1)+\mathrm{e}^{x^2}]}{x}=1$$，则$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f[(1+\tan x)^2]-f(1+\tan x)}{x}=$$______。

设$$y=f(x)$$由方程$$x=\int_{1}^{y-x}\sin^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)\mathrm{d}t$$确定，则$$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=$$______。

设函数$$f(x)$$有连续导数，且$$\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\sin x}{x^2}+\frac{f(x)}{x}\right]=2$$，则$$f(x)$$的一阶麦克劳林展开式为______。

设函数$$f(x)$$在$$(-\infty,+\infty)$$内连续，$$f''(x)$$的图形如图2-1所示，则曲线$$y=f(x)$$的拐点个数为______。（含图）

设$$f'(0)$$存在，$$f(0)=0$$，且$$\lim\limits_{x\to0}\left[1+\frac{1-\cos f(x)}{\sin x}\right]^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}$$，则$$f'(0)=$$______。

当$$x\to0$$时，$$x-\sin x\cos x$$与$$ax^b$$为等价无穷小，则$$a=$$______，$$b=$$______。

当$$x\to0$$时，$$\mathrm{e}^x+\ln(1-x)-1$$与$$x^n$$是同阶无穷小，则$$n=$$______。

曲线$$y=\mathrm{e}^{-x^2}$$的上凸区间是______。

设$$f(x)=n^2\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}-(1+n)x$$在$$x=x_n$$处有水平切线，则$$\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{e}^{x_n}=$$______。

设曲线$$y=f(x)=\frac{1}{1+x^n}$$，在其上点$$\left(1,\frac{1}{2}\right)$$处的切线与$$x$$轴交于点$$(x_n,0)$$，则$$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=$$______。

设连续函数$$y=f(x)$$在点$$(1,0)$$处满足$$\Delta y=\Delta x+o(\Delta x)$$，则极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{1}^{\mathrm{e}^x}f(t)\mathrm{d}t}{x^2+\ln(1+x^3)}=$$______。